Nombre pyramidal carré

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre

Les nombres pyramidaux carrés appartiennent aux nombres figurés , plus précisément aux nombres pyramidaux . Ils quantifient le nombre de sphères pouvant être utilisées pour construire une pyramide à base carrée. Comme le graphique ci-dessous montre l'exemple du quatrième carré Pyramidalzahl 30, ce sont les sommes des premiers nombres carrés .

Nombre pyramidal carré.svg

Dans ce qui suit, notons le -ème nombre pyramidal quadratique.

Ça s'applique

.

Les premiers nombres pyramidaux quadratiques sont

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (séquence A000330 dans OEIS )

Pour certains auteurs, le zéro n'est pas un nombre pyramidal quadratique, donc la séquence de nombres ne commence que par le un.

Fonction de génération

La fonction génératrice des nombres pyramidaux quadratiques est

Relations avec d'autres nombres figurés, autres représentations

Ça s'applique

avec les coefficients binomiaux et

avec les nombres tétraédriques .

De plus, avec le -ème nombre triangulaire:

Numéros figurés associés

Autres

  (Suivez A159354 dans OEIS )

Dérivation de la formule empirique

La différence entre deux nombres carrés consécutifs est toujours un nombre impair. Plus précisément, du fait que la différence entre le -ième et le -ième nombre carré est. Cela donne le schéma suivant:

Un nombre carré peut ainsi être représenté comme la somme des nombres impairs, c'est-à-dire qu'il s'applique . Cet affichage de somme permet maintenant d'afficher la somme des premiers nombres carrés au moyen d'un ensemble de nombres impairs disposés en triangle. La somme de tous les nombres impairs du triangle correspond exactement à la somme des premiers nombres carrés.

Maintenant, vous organisez les mêmes nombres impairs de deux autres manières pour former un triangle congruent.

    

Si vous placez ces triangles les uns sur les autres, la somme de chaque colonne composée de trois nombres est toujours constante et il existe de telles colonnes. Ainsi, la somme de tous les nombres impairs des trois triangles est exactement trois fois la somme des premiers nombres carrés. Ce qui suit s'applique:

Voir également

Littérature