Nombre pyramidal carré

Les nombres pyramidaux carrés appartiennent aux nombres figurés , plus précisément aux nombres pyramidaux . Ils quantifient le nombre de sphères pouvant être utilisées pour construire une pyramide à base carrée. Comme le graphique ci-dessous montre l'exemple du quatrième carré Pyramidalzahl 30, ce sont les sommes des premiers nombres carrés .

Dans ce qui suit, notons le -ème nombre pyramidal quadratique.

Ça s'applique

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} i ^ {2} = 1 ^ {2} + 2 ^ {2} + 3 ^ {2 } + 4 ^ {2} + \ ldots n ^ {2} = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}} = {\ frac {2n ^ {3} + 3n ^ { 2} + n} {6}}}$

.

Les premiers nombres pyramidaux quadratiques sont

0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, ... (séquence A000330 dans OEIS )

Pour certains auteurs, le zéro n'est pas un nombre pyramidal quadratique, donc la séquence de nombres ne commence que par le un.

La fonction génératrice des nombres pyramidaux quadratiques est

${\ displaystyle {\ frac {x (x + 1)} {(x-1) ^ {4}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {Pyr} _ {4} ( n) x ^ {n} = \ mathbf {1} x + \ mathbf {5} x ^ {2} + \ mathbf {14} x ^ {3} + \ mathbf {30} x ^ {4} + \ mathbf {55} x ^ {5} + \ ldots}$

Ça s'applique

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ binom {n + 2} {3}} + {\ binom {n + 1} {3}}}$

avec les coefficients binomiaux et

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {1} {4}} \ operatorname {Pyr} _ {3} (2n)}$

avec les nombres tétraédriques .

De plus, avec le -ème nombre triangulaire:

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = \ Delta _ {n} +2 \ operatorname {Pyr} _ {3} (n-1)}$

• Les autres nombres pyramidaux , par ex. B. les nombres tétraédriques .
• La somme de deux nombres pyramidaux quadratiques consécutifs est un nombre octaédrique .

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {6} {n (n + 1) (2n + 1)}} = 18-24 \ ln (2) = 1 {,} 3644676665 \ ldots}$

  (Suivez A159354 dans OEIS )

La différence entre deux nombres carrés consécutifs est toujours un nombre impair. Plus précisément, du fait que la différence entre le -ième et le -ième nombre carré est. Cela donne le schéma suivant:

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccccccccccccccc} 0 && 1 && 4 && 9 && 16 && 25 & \ ldots & (n-1) ^ {2} && n ^ {2} \\ & 1 && 3 && 5 && 7 && 9 && \ ldots && 2n-1 & \ end {array}}}$

Un nombre carré peut ainsi être représenté comme la somme des nombres impairs, c'est-à-dire qu'il s'applique . Cet affichage de somme permet maintenant d'afficher la somme des premiers nombres carrés au moyen d'un ensemble de nombres impairs disposés en triangle. La somme de tous les nombres impairs du triangle correspond exactement à la somme des premiers nombres carrés.

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcccccccc} \ scriptstyle 1 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 &&&&&&& \\\ scriptstyle 2 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 &&&&&& \\\ scriptstyle 3 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 &&&&& \\\ scriptstyle 4 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 &&&& \\ \ scriptstyle 5 ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & 3 & 5 & 7 & 9 &&& \\\ vdots quad \ vline & \ vdots &&&&& \ ddots && \\\ scriptstyle (n-1) ^ { 2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \\\ scriptstyle n ^ {2} \ scriptstyle = \, \ vline & 1 & \ cdots &&&& \ cdots & \ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-1 \ end {array}}}$

Maintenant, vous organisez les mêmes nombres impairs de deux autres manières pour former un triangle congruent.

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} \ scriptstyle 2n-1 &&&&&& \\\ scriptstyle 2n-3 & \ scriptstyle 2n-3 &&&&& \\\ vdots && \ ddots &&&& \\ 9 & \ cdots & \ cdots & 9 &&&& \\ 7 & \ cdots & \ cdots & 7 & 7 &&& \\ 5 & \ cdots & \ cdots & 5 & 5 & 5 \\ 3 & \ cdots & \ cdots & 3 & 3 & 3 & 3 \\ 1 & \ cdots & \ cdots & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n -1) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {array}}}$

    

${\ displaystyle {\ begin {array} {cccccccc} 1 &&&&&&& \\ 3 & 1 &&&&&&& \\ 5 & 3 & 1 &&&&& \\ 7 & 5 & 3 & 1 &&&& \\ 9 & 7 & 5 & 3 & 1 &&& \\\ vdots &&&&& \ ddots & \ && \\ script \ 2n-1 & \ scriptstyle 2n-3 &&&& \ cdots & 3 & 1 \\\ hline \ scriptstyle = n ^ {2} & \ scriptstyle = (n-1 ) ^ {2} & \ cdots & \ scriptstyle = 5 ^ {2} & \ scriptstyle = 4 ^ {2} & \ scriptstyle = 3 ^ {2} & \ scriptstyle = 2 ^ {2} & \ scriptstyle = 1 ^ {2} \ end {array}}}$

Si vous placez ces triangles les uns sur les autres, la somme de chaque colonne composée de trois nombres est toujours constante et il existe de telles colonnes. Ainsi, la somme de tous les nombres impairs des trois triangles est exactement trois fois la somme des premiers nombres carrés. Ce qui suit s'applique:

${\ displaystyle \ operatorname {Pyr} _ {4} (n) = {\ frac {n (n + 1) (2n + 1)} {6}}}$

• Formule Faulhaber

• John H. Conway, Richard Guy: Le livre des nombres . Springer, 1996, ISBN 9780387979939 , pp. 47–50 ( extrait (Google) )

• Eric W. Weisstein : Nombre pyramidal carré . Dans: MathWorld (anglais).